Solucion de una Ecuacion Diferencial explicita e implicita

 Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función j.

Dada una EDO

*    an(x)y⁽ⁿ⁾ +………a₁(x)y’ + a(x)y = g(x)

Se entiende por solución de * a una función:

y=f(x) cuyas derivadas y’, y’’… y⁽ⁿ⁾

Existen y tales que satisfacen la ecuación * al ser sustituidos en la misma.

Ejemplo:

        La función  y = f(x) = 3e^2x + e^-2x – 3 es una solución de la EDO

y’’- 4y = 12x

Verificación:

   Tenemos:                            

y = 3e^2x + e^-2x – 3x

• y' = 6e^2x + 2e^-2x – 3
• y’’ = 12e^2x + 4^-2x

  Sustituimos

y’’- 4y = (12e^2x + 4^-2x ) – 4 (3e^2x + e^-2x – 3x)

= (12e^2x + 4^-2x ) – 12e^2x + 4e^-2x – 12x)

ECUACION IMPLICITA

            Es aquella donde no se expresa de manera directa la relación entre la variable dependiente e independiente.

Solución implícita:

x^{2 +} y² = c

• d(x²⁺y²) /dx= 0
• [dx² / dx  +  dy² / dx]= 0
• 2x (dx/dx) + (2y dy/dx)  = 0
• 2x + (2y dy/dx)  = 0
• (2y dy/dx)  -2x
• dy/dx   =  -2x/2y   =  -x/y
• dy/dx   =  ex/y
• y’= x/y