EDO
Problema de Mezcla
Considérese un tanque que tiene un volumen inicial V0 de solución (una mezcla de soluto y solvente). Hay un flujo tanto de entrada como de salida y se quiere calcular la cantidad de soluto x(t) que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t, en función de la cantidad inicial de soluto x0 al tiempo de iniciar el proceso de mezclado.
Supóngase que la solución que se inyecta al tanque tiene una concentración de C1 gramos de soluto por litro, y fluye al mismo con una tasa de Q1 litros por segundo, en tanto que la sustancia contenida en el tanque se mantiene bien mezclada por agitación y fluye hacia fuera de este a una tasa de Q2 litros por segundo.
Sea x(t) la cantidad de soluto en el tanque en un instante de tiempo t. La cantidad de soluto que fluye hacia el tanque durante Δt segundos es (Q1 C1 Δt) gramos. La cantidad de soluto que fluye hacia fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiempo, depende de la concentración de soluto C2(t) en el tanque al instante t.
Si la tasa de entrada de líquido al tanque es igual a la tasa de salida de líquido del tanque (Q1 = Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es el mismo, es decir, el volumen se mantiene constante (V(t) = V0 , con V0 volumen inicial).
Si la tasa de entrada de líquido al tanque es mayor a la tasa de salida de líquido del tanque (Q1 > Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es mayor que el volumen inicial V0 (V(t) > V0).
Si la tasa de entrada de líquido al tanque es menor a la tasa de salida de líquido del tanque (Q1 < Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es menor que el volumen inicial V0 (V(t) < V0).
Por otra parte, la variación de la cantidad de soluto en un instante t, es igual a la diferencia entre la cantidad de líquido que fluye hacia el tanque (Q1 C1 Δt) y la cantidad de líquido que fluye fuera del tanque (Q2 C2 Δt):
El volumen de líquido en el tanque, en cualquier instante de tiempo t, viene dado por la ecuación V(t) = V0 + (Q1 – Q2) t
Por otra parte, la variación de la cantidad de soluto en un instante t, es igual a la diferencia entre la cantidad de líquido que fluye hacia el tanque (Q1 C1 Δt) y la cantidad de líquido que fluye fuera del tanque (Q2 C2 Δt):
Δx = ( gramos que ingresan) - (gramos que salen)
= (Q1 C1 Δt) - (Q2 C2 Δt)
= (Q1 C1 - Q2 C2) Δt
ya que Δt ≠ 0, dividiendo entre Δt
tΔ/xΔ = (Q1 C1 - Q2 C2)
calculando el límite de cuando Δt → 0
)CQCQ(txlim22110t−=ΔΔ→Δ (1)
Por la definición de derivada,
dt/dxtxlim0t=ΔΔ→Δ (2)
Comparando las ecuaciones (1) y (2)
dt/dx = Q1 C1 - Q2 C2 (3)
donde Q1, C1 y Q2 son constantes
