Ecuaciones Lineales de Primer Orden

En general una ecuación diferencial lineal  de orden n tiene la forma

 

ɑn (x) dᶰ y  + ɑn (x) d(ᶰ­¹) y  +…..+ ɑ1 (x) d y  + ɑ° (x) y = g (x)  

            dxᶰ                  dxᶰ­¹                              dx

se caracteriza por el hecho de que todos los coeficientes solo dependen de X y porque el exponente de Y y de cada derivada presente en la ecuación es igual a 1

            una ecuación diferencial de 1er orden de la forma 

ɑn (x) dy  + ɑ° (x) y = g (x)  es  una ecuación lineal

            dx             

Comúnmente se expresa en su forma estándar, la cual consiste en dividir toda la ecuación por el termino ɑ1 (x) .

Así   dy  ± ɑ° (x)  y =   g (x)

        dx    ɑ1 (x)          ɑ1 (x)          

 

dy  + p (x) y = 0              dx              Ecuación homogénea asociada

               dy  + p (x) y = f (x) 

              dx             

            Ecuación original

Procedimiento de solución

Para ecuación homogénea

     dy  + p (x) y = 0

     dx             

se aplica el método de variables separables

dy  = - p (x) y  0

 

ʃʃʃ

ʃʃʃ

 y             

 

    dy  = -      p (x) y  0

     y                

ʃʃʃ

Lnc

- p (x)d dx

Lny

Lny    -      p (x) dx + Lnc

 

- ʃp (x)d dx

ϵ    =  ϵ         ϵ

yc = cϵ            , solución complementaria

para  la solución particular se parte del hecho yp= u(x) yc(x)

al derivar  dy p  = u’(x) y c(x) + u(x) y c'(x)

                    dx             

al sustituir  en la ecuación original

 

 dy  + p (x) y = f (x) 

 dx             

 

 

(u’(x) yc(x) + u(x) y c'(x) ) + p (x) u(x) yc = f (x)

 

(u’(x) y c(x) + u(x) y c'(x) ) + p (x) u(x) yc = f (x)

Como yc es solución dela ecuación homogénea

Yc’(x) + p(x) yc(x) = 0

u’(x) yc(x)  = f (x)

du yc(x)  =  f(x)

dx

 

du = f(x)dx

         yc(x)

 

ʃʃʃ

u =      f(x)dx

            yc (x)

ʃʃʃ

de acuerdo a la definición de yp se tiene que

yp = uyc =  yc       f(x)dx

                               yc (x)

 

ʃ

- ʃp (x) dx

 

- ʃp (x) dx

ϵ                            f(x)d(x)

                  ϵ

- ʃp (x) dx

 

Factor integrante  (ϵ          )

 

- ʃp (x) dx

Se multiplica la ecuación original por el factor

ϵ                     se obtiene

 

- ʃp (x) dx

- ʃp (x) dx

- ʃp (x) dx

ϵ                   dy + p(x)  ϵ           y = ϵ            f(x)

 

el lado izquierdo de la ecuación e equivalente a

 

ʃp (x) dx

ʃp (x) dx

ʃp (x) dx

d(y ϵ        ) =  ϵ          f(x)

 

ʃp (x) dx

ʃʃʃ

ʃp (x) dx

Lo cual implica

y ϵ                  = c +            ϵ         f(x) dx

 

- ʃp (x) dx

ʃp (x) dx

ʃʃʃ

y = (c  +      ϵ         f (x) dx ) ϵ              

 

 ejemplo

resolver  xdy -  4y = x⁶  ϵˣ

                    dx  

solución

primero se lleva a la forma estándar

 

dy  + p (x) y = f (x) 

dx             

 

dividiendo por X  

 

dy  - 4  y =x ⁵  ϵˣ

dx     x            

 

p(x) = -4  y   f(x)  = x ⁵  ϵˣ

 

ʃp (x) dx

             x

 factor integrante     ϵ

             

ʃ -4 dx       x

                         =    ϵ

 

-4 Ln x

                      

                           = ϵ

ʃp (x) dx

 

- Ln x⁴

 

 

Ln 1         x⁴

ϵ                 =   ϵ    

                = ϵ

                 =  1

                     x⁴

 

asi al multiplicar la ecuación original por este factor…

 

  1    dy  =   4 y  =   x ϵˣ

 x⁴   dx        x⁵

 

y  =    ʃ    x ϵˣ dx x⁴   y = x⁴   ʃ  x ϵˣ dx   = x⁴    (x ϵˣ - ϵˣ)  +  c  x⁴

 

d      y

       x⁴

                 =  x ϵˣ

     dx

 ϵ ϵ ϵ ϵ ϵ ϵ

 

ʃʃʃ