Ecuaciones de Variables Separables

            Una ecuación diferencial de 1^er orden, de la forma dy/dx = g(x)h(x) es separable o de variables separables.

            Método de solución de una ecuación diferencial de variable separable:

Dada la ecuación:

dy/dx = g(x)h(x)

Se expresa de la forma:   dy/h(y) = g(x)dx

⇒  p(y)dy = g(x)dx, donde se ha hecho el cambio p(y) = 1/h(y)

Se integra, lado a lado la última ecuación

∫p(y)dy = ∫g(x)dx.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial (1+x)dy - ydx= 0

Solución:

(1+x)dy - ydx= 0

⇒  (1+x)dy = ydx

⇒  dy/Y = dx/1+x

De aquí se tiene que p(y) = 1/y yg(x) = 1/x+1; integrando la última ecuación se obtiene:

∫dy/y = ∫dx/1+x

⇒   Ln|y|= Ln(1+x) + lnc

⇒  Ln|y|= Ln[c|1+x|], propiedades de logarítmo.

⇒  e^Lnlyl = e^{Ln[c l1+xl]}

⇒  y = +/- c (1+x).

Ejercicios:

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1.) (x+1)dy/dx = x+6

2.) dy/dx = y³/x²

3.)dx/dy = x²y²/1+x

Solución:

1.) (x+1)dy/dx = x+6

⇒  dy/dx = x+6/x+1 = 1+ (5/x+1)

⇒  dy = (1+5/x+1)dx

⇒  ∫dy = ∫(1+5/x+1)dx

⇒  y = ∫dx + 5∫dx/x+1

⇒  y = x+5Ln|x+1|+c.

Nota los otros dos ejercicios quedan propuestos...